Question

15．2015年國慶長假期間，各旅游景區(qū)人數(shù)發(fā)生“井噴”現(xiàn)象，給旅游區(qū)的管理提出了嚴峻的考驗，國慶后，某旅游區(qū)管理部門對該區(qū)景點進一步改造升級，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=$\frac{27}{50}$x-ax²-ln $\frac{x}{10}$，x∈（2，t]，當x=10時，y=$\frac{22}{5}$．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求旅游增加值y取得最大值時對應的x值．

Answer 1

分析 （1）代入求值可得a=$\frac{1}{100}$，求出解析式即可；
（2）求導函數(shù)，根據(jù)條件，利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）∵當x=10時，y=$\frac{22}{5}$，即$\frac{27}{50}$×10-a×10²-ln 1=$\frac{22}{5}$，解得a=$\frac{1}{100}$．
∴f（x）=$\frac{27}{50}$x-$\frac{x2}{100}$-ln $\frac{x}{10}$．x∈（2，t]…（4分）
（2）對f（x）求導，得$f'（x）=\frac{27}{50}-\frac{x}{50}-\frac{1}{x}=-\frac{{{x^2}-27x+50}}{50x}=-\frac{（x-2）（x-25）}{50x}$．
令f′（x）=0，得x=25或x=2（舍去）．…（6分）
當x∈（2，25）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（2，25）上是增函數(shù)；
當x∈（25，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（25，+∞）上是減函數(shù)
所以當t＞25時，當x∈（2，25）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，25）上是增函數(shù)；
當x∈（25，t]時，f′（x）＜0，f（x）在（25，t]上是減函數(shù)．
∴當x=25時，y取得最大值； …（8分）
當2＜t≤25時，當x∈（2，t）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，t）上是增函數(shù)，
∴當x=t時，y取得最大值                       …（10分）
綜上：當t＞25時，x=25時，y取得最大值
當2＜t≤25時，x=t時，y取得最大值…（12分）

點評 考查了函數(shù)的應用和導函數(shù)求函數(shù)的最值．難點是對自變量t的取值分類討論．