Question

8．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{x}+ln\frac{1}{x}$（a為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（a）=3λa-2a²（其中λ為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，且存在a滿足h（a）≥λ+$\frac{1}{8}$，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N^*，求證：ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程的求法，求出斜率切點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．
（Ⅱ）通過f'（x）=0求出極值點(diǎn)x=a，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，得到a的范圍，然后轉(zhuǎn)化條件為h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$，①當(dāng)λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$時(shí)，②當(dāng)$0＜λ≤\frac{4}{3}$時(shí)，③當(dāng)$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$時(shí)，分別求解h（a）_max，推出λ的范圍．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：$f'（x）=\frac{1-x}{x^2}$，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，推出$ln\frac{1}{x}≤\frac{1-x}{x}$，令$x=\frac{n}{n+1}$，推出$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$，然后利用累加法推出結(jié)果．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，
則$f'（\frac{1}{2}）=4-2=2$，$f（\frac{1}{2}）=1-2+ln2=ln2-1$∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$的切線方程為：$y-（ln2-1）=2（x-\frac{1}{2}）$，
即2x-y+ln2-2=0…（4分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=a
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，所以a≤0或a≥2…（5分）
由于存在a滿足h（a）≥$λ+\frac{1}{8}$，所以h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$…（6分）
對(duì)于函數(shù)h（a）=3λa-2a²，對(duì)稱軸$a=\frac{3}{4}λ$
①當(dāng)$\frac{3λ}{4}≤0$或$\frac{3λ}{4}≥2$，即λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$時(shí)，$h{（a）_{max}}=h（\frac{3}{4}λ）=\frac{9}{8}{λ^2}$，
由h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$$⇒\frac{9}{8}{λ^2}≥λ+\frac{1}{8}$，結(jié)合λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$可得：$λ≤-\frac{1}{9}$或$λ≥\frac{8}{3}$
②當(dāng)$0＜\frac{3λ}{4}≤1$，即$0＜λ≤\frac{4}{3}$時(shí)，h（a）_max=h（0）=0，
由h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$$⇒0≥λ+\frac{1}{8}$，結(jié)合$0＜λ≤\frac{4}{3}$可知：λ不存在；
③當(dāng)$1＜\frac{3λ}{4}＜2$，即$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$時(shí)，h（a）_max=h（2）=6λ-8；
由h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$$⇒6λ-8≥λ+\frac{1}{8}$，結(jié)合$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$可知：$\frac{13}{8}≤λ＜\frac{8}{3}$
綜上可知：$λ≤-\frac{1}{9}$或$λ≥\frac{13}{8}$…（9分）
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，$f'（x）=\frac{1-x}{x^2}$，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$在x=1處取得最大值f（1）=0
即$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}≤f（1）=0$，∴$ln\frac{1}{x}≤\frac{1-x}{x}$，…（11分）
令$x=\frac{n}{n+1}$，則$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，即$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)n（n+1）=ln（n+1）-ln1=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln2-ln1）$＜\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+…+\frac{1}{1}$．
故$ln（n+1）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．