Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其中$e=\frac{1}{2}$（e為橢圓離心率），焦距為2，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間．又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{4}{7}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（II）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出直線的斜率，即可得到所直線方程．

解答 解：（I）由條件橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其中$e=\frac{1}{2}$（e為橢圓離心率），焦距為2，可得c=1，a=2，
故b²=a²-c²=3，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）由過點(diǎn)M（4，0）的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間．，可知A，B，M三點(diǎn)共線，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂）．
若直線AB⊥x軸，則x₁=x₂=4，不合題意．
當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$消去y得，（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．①
由①的判別式△=32²k⁴-4（4k²+3）（64k²-12）=144（1-4k²）＞0，
解得k²＜$\frac{1}{4}$，
x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
由又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{4}{7}$．可得$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}=\frac{8}{7}$
解得k²=$\frac{1}{8}$，即有k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
y=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）．
直線l的方程：y=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．