Question

3．已知ABCD是平行四邊形，PA⊥ABCD所在平面，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點．
（Ⅰ）若PC⊥BD，判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若AC=BD，當PD與平面所成角為多少時，EF⊥平面PDC，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，畫出圖形，利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，可知AC⊥BD，由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）由AC=BD，可得ABCD是矩形，以A為原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)：B（x，0，0），D（0，y，0），P（0，0，z），則可求：$\overrightarrow{FE}$=（0，$\frac{y}{2}$，$\frac{z}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（x，y，-z），$\overrightarrow{PD}$=（0，y，-z），
若EF⊥平面PDC，則則$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{FE}$=0，$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{FE}$=0，整理可得：y=z，可求PD與平面所成角為$\frac{π}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，畫出圖形如圖，
∵PA垂直平行四邊形ABCD所在平面，
∴PA⊥BD，
又∵PC⊥BD，PA?平面ABCD，PC?平面ABCD，PA∩PC=P．
∴BD⊥平面PAC
又∵AC?平面PAC
∴AC⊥BD
又ABCD是平行四邊形
∴平行四邊形ABCD一定是菱形．
（Ⅱ）若AC=BD，當PD與平面所成角為$\frac{π}{4}$時，EF⊥平面PDC，
證明：∵AC=BD，ABCD是平行四邊形，
∴ABCD是矩形，
如圖，以A為原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)：B（x，0，0），D（0，y，0），P（0，0，z），則A（0，0，0），C（x，y，0），E（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$，$\frac{z}{2}$），F(xiàn)（$\frac{x}{2}$，0，0），
可求：$\overrightarrow{FE}$=（0，$\frac{y}{2}$，$\frac{z}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（x，y，-z），$\overrightarrow{PD}$=（0，y，-z），
∵EF⊥平面PDC，
∴則$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{FE}$=0，$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{FE}$=0，可得：$\frac{y}{2}×y+\frac{z}{2}×（-z）=0$，整理可得：y=z，
∴tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{z}{y}$=1，即PD與平面所成角為$\frac{π}{4}$．得證．

點評 本題主要考查了學(xué)生的空間想象能力及線面垂直的判定與性質(zhì)．考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．