Question

11．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overrightarrow x$	$\overrightarrow y$	$\overrightarrow w$	$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x_i}$，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（1）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline{v）}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （1）由于散點圖是否按直線型分布的判斷；
（2）令w=$\sqrt{x}$，先求出y關(guān)于w線性的回歸方程，再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的回歸方程；
（3）把x=49代入回歸方程求出銷售量的預(yù)測值，再代入利潤公式計算利潤．

解答 解：（1）由散點圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．
d=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{ω}_{i}-\overline{ω}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{8}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}=68$，
c=$\overline{y}$-d$\overline{ω}$=563-68×6.8=100.6，
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y關(guān)于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$．
（3）當(dāng)x=49時，年銷售量y的預(yù)報值$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預(yù)報值z=576.6×0.2-49=66.32．

點評 本題考查了可化為線性相關(guān)的回歸方程的求解以及利益回歸方程進行數(shù)值預(yù)測，屬于中檔題．