Question

3．函數(shù)f（x）=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)．B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin $（{ωx+\frac{π}{3}}）$，由題意可求BC，由周期公式可求ω，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．
（2）由已知及（1）可求sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$，結(jié)合范圍x₀∈$（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，得$\frac{{π{x_0}}}{4}$+$\frac{π}{3}$∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，可求cos $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$，故f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}}）$=2$\sqrt{3}$sin $[{（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）+\frac{π}{4}}]$利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．

解答 解：（1）由已知可得f（x））=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin $（{ωx+\frac{π}{3}}）$…（2分）
易得正三角形ABC的高為2$\sqrt{3}$，則BC=4，
所以函數(shù)f（x）的周期為4×2=8，即$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω=$\frac{π}{4}$．
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$]…（6分）
（2）因?yàn)閒（x0）=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，由（1）有f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，即sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$=$\frac{4}{5}$，
由x₀∈$（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，得$\frac{{π{x_0}}}{4}$+$\frac{π}{3}$∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
即cos $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{1-{{（{\frac{4}{5}}）}^2}}$=$\frac{3}{5}$，
故f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin $（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}}）$
=2$\sqrt{3}$sin $[{（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）+\frac{π}{4}}]$
=$2\sqrt{3}[{sin（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）cos\frac{π}{4}+cos（{\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}}）sin\frac{π}{4}}]$
=$2\sqrt{3}（{\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$=$\frac{{7\sqrt{6}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．