Question

已知y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于點（6，0）對稱．若實數(shù)x，y滿足不等式
f（x²-6x）+f（y²-8y+36）≤0，則x²+y²的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因為函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（6，0）對稱，所以f（x+6）=-f（6-x），從而f（x²-6x）+f（y²-8y+36）≤0轉(zhuǎn)化為（x-3）²+（y-4）²≤1，借助于圓的有關(guān)知識可求．

解答： 解：因為函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（6，0）對稱，所以f（x+6）=-f（6-x），
因為f（x²-6x）+f（y²-8y+36）≤0，
所以f（x²-6x）≤-f（y²-8y+36）=-f（y²-8y+30+6）=f[6-（y²-8y+30）]，
因為函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，所以得x²-6x≤6-（y²-8y+30），
化簡配方得（x-3）²+（y-4）²≤1，所以圓心為（3，4），半徑為1，
x²+y²的幾何意義為圓上動點到原點距離的平方的最值．
因為圓心到原點的距離為5，所以動點到原點的距離的范圍是4≤d≤6，所以16≤d²≤36，所以x²+y²的取值范圍是[16，36]．
故答案為：[16，36]．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性及圓的有關(guān)知識，解決問題的關(guān)鍵是把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運算量，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合及”轉(zhuǎn)化”的思想在解題中的應(yīng)用．