Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺）
（1）證明：{a_n+1} 數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列 {a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+2=S_n+2-S_n+1，可得a_n+2+1=2（a_n+1+1），驗證a₂+1=2（a₁+1），進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1），利用S_n=（a₁+1）+（a₂+1）+…+（a_n+1）-n計算即可．

解答 （1）證明：∵S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺），
∴S_n+2=2S_n+1+n+1+5（n∈N⁺），
兩式相減得：a_n+2=2a_n+1+1，
即a_n+2+1=2（a_n+1+1），
又∵a₁=5，S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺），
∴a₂=11，且a₂+1=12=2×6=2（a₁+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是以6為首項、2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，
∴S_n=（a₁+1）+（a₂+1）+…+（a_n+1）-n
=3×$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n
=6×2ⁿ-（n+6）．

點評 本題考查判斷等比數(shù)列，求數(shù)列的和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．