Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，E、F、G分別是棱BB₁、B₁C₁、CC₁的中點．
（1）求證：AG∥平面A₁EF；
（2）求直線AG與平面BCC₁B₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用比例關(guān)系證明AG∥MN，然后通過直線與平面平行的判定定理證明AG∥平面A₁EF．   
（2）取BC中點H，說明∠AGH為直線AG與平面BCC₁B₁所成角，在Rt△AHG中求解直線AG與平面BCC₁B₁所成角即可．

解答 （1）證明：∵AA₁∥BB₁，∴$\frac{{B}_{1}M}{MA}=\frac{{B}_{1}E}{{AA}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∵B₁C₁∥BC，∴$\frac{{B}_{1}N}{NG}=\frac{{B}_{1}F}{EG}=\frac{1}{2}$
∴AG∥MN                          （2分）
∵MN?平面A₁EF，AG?平面A₁EF，
∴AG∥平面A₁EF．                   （5分）
（2）解：取BC中點H，由AB=AC，得AH⊥BC   ①
∵BB₁⊥平面ABC，AH?平面ABC，∴BB₁⊥AH  ②
由①②及BC∩BB₁=B，得AH⊥平面BCC₁B₁．
∴∠AGH為直線AG與平面BCC₁B₁所成角．        （8分）
Rt△ABC中，AB=AC=1，∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
Rt△AHG中，AC=GC=1，∴AG=$\sqrt{2}$．
∴Rt△AHG中，∠AGH=30°．
∴直線AG與平面BCC₁B₁所成角為30°．               （12分）

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查計算能力．