Question

11．若函數(shù)f（x）=aln（x+$\sqrt{{x^2}+1}$）+$\frac{{{2^x}-1}}$+$\frac{b+6}{2}$（a，b為常數(shù)），在（0，+∞）上有最小值4，則函數(shù)f（x）在（-∞，0）上有（　�。�

• A． 最大值4
• B． 最小值-4
• C． 最大值2
• D． 最小值-2

Answer 1

分析 令g（x）=aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），h（x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$），判斷g（x），h（x）的奇偶性，可得f（x）=g（x）+h（x）+3，由g（x）+h（x）的最值之和為0，即可得到f（x）在（-∞，0）上有最大值．

解答 解：令g（x）=aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
g（-x）+g（x）=aln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
=aln（1+x²-x²）=aln1=0，
即有g(shù)（x）為奇函數(shù)；
令h（x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$），h（-x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$），
由h（x）+h（-x）=0，可得h（x）為奇函數(shù)，
則f（x）=g（x）+h（x）+3，
由f（x）在（0，+∞）上有最小值4，
可得g（x）+h（x）在（0，+∞）上有最小值1，
則g（x）+h（x）在（-∞，0）上有最大值-1，
即有f（x）在（-∞，0）上有最大值-1+3=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力和構(gòu)造函數(shù)的思想方法，屬于中檔題．