Question

13．在橢圓x²+8y²=8上求一點(diǎn)P，使P到直線l：x-y+4=0的距離最小，則P的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 設(shè)直線x-y+m=0與橢圓相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），與橢圓方程聯(lián)立9x²+16mx+8m²-8=0，令△=0，解得m，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可．

解答 解：設(shè)直線x-y+m=0與橢圓相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+8{y}^{2}=8}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，化為9x²+16mx+8m²-8=0，
令△=（16m）²-36（8m²-8）=0，解得m=±3，
由圖可知，m=3時(shí)直線l：x-y+4=0與直線x-y+m=0的距離最小．
解得x=-$\frac{8}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
∴P（-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
點(diǎn)P到直線l：x-y+4=0的距離d=$\frac{|-\frac{8}{3}-\frac{1}{3}+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴要求的P到直線l：x-y+4=0的距離最小，其最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：（-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相切問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．