Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），則S_2n+1=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• B． $\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$）
• C． $\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• D． $\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{{4}^{n+1}}$）

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，L），S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n}}$，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），
則S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{3}$$[1-（\frac{1}{4}）^{n+1}]$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“分組求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．