Question

5．如圖所示，PA，PB分別切圓O于A，B，過AB與OP的交點(diǎn)M作弦CD，連結(jié)PC，求證：$\frac{PC}{CM}=\frac{OD}{OM}$

Answer 1

分析 由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM²．直角三角形AMO∽直角三角形PMA，所以$\frac{AM}{OM}$=$\frac{PM}{AM}$，進(jìn)一步證明△CMP∽△OMD，即可證明結(jié)論．

解答 證明：因?yàn)镻A、PB分別切圓O于點(diǎn)A、B，OP與AB交于M
所以O(shè)P垂直平分AB
又圓O中AB，CD交于M，
由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM²．
連接OA，因?yàn)锳P為圓O切線，所以∠OAP=90°
又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°
所以∠OAM=∠APM
所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA
所以$\frac{AM}{OM}$=$\frac{PM}{AM}$
所以PM•OM=AM²，
又DM•CM=AM•MB=AM²，
所以PM•OM=DM•CM，
所以$\frac{PM}{CM}=\frac{DM}{MO}$，
又∠CMP=∠ODM
所以△CMP∽△OMD
所以$\frac{PC}{CM}=\frac{OD}{OM}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相交弦定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．