Question

9．已知A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心，且∠AOB=120°，MN是圓O的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知C在線段AB上，從而得出|$\overrightarrow{OC}$|的范圍，用$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$，代入數(shù)量積公式得出關(guān)于|$\overrightarrow{OC}$|的式子，根據(jù)|$\overrightarrow{OC}$|的范圍得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，
∴點(diǎn)C在線段AB上，即A，B，C三點(diǎn)共線．
∵OA=OB=1，∠AOB=120°，
∴O到直線AB的距離d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}≤$|$\overrightarrow{OC}$|＜1．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）$•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∵M(jìn)N是單位圓O的直徑，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-1+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∴-$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$＜0．
則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為-$\frac{3}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的性質(zhì)與幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．本題也可以使用坐標(biāo)法進(jìn)行求解．