Question

19．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）選擇②，由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=$\frac{3}{4}$，可得這個(gè)常數(shù)的值．
（2）推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．證明直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．

解答 解：（1）選擇②計(jì)算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=$\frac{3}{4}$，故這個(gè)常數(shù)為$\frac{3}{4}$．
（2）根據(jù)①的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
證明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα）²-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的應(yīng)用，考查歸納推理以及計(jì)算能力，屬于中檔題．