Question

9．設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，則（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)y=（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式△≥0進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：設(shè)y=（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$，
即（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$-y=0，
即a²+（2-4b）a+$\frac{17}{4}$b²-5b+$\frac{5}{2}$-y=0，
以a為變量，有實(shí)數(shù)解的條件是它的判別式△≥0，
即（2-4b）²-4（$\frac{17}{4}$b²-5b+$\frac{5}{2}$-y）≥0，
即-b²+4b-6+4y≥0，
即4y≥b²-4b+6=（b-2）²+2，
∴當(dāng)b=2時(shí)，（b-2）²+2取得最小值2，
此時(shí)4y有最小值2，即y取得最小值y=$\frac{1}{2}$，
故a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$的最小值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查最值的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．