Question

11．已知函數(shù)f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求$f（\frac{1}{2016}）+f（-\frac{1}{2016}）$的值；
（2）當(dāng)x∈[-a，a]（其中a∈（0，1）且a是常數(shù)）時(shí)，f（x）是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，f（-x）=x+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=x-log₂$\frac{1-x}{1+x}$，從而判斷出函數(shù)為奇函數(shù)；從而解得；
（2）化簡f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
f（-x）=x+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=x-log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
∴f（-x）+f（x）=0，
故$f（\frac{1}{2016}）+f（-\frac{1}{2016}）$=0；
（2）f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
f（x）在[-a，a]上是減函數(shù)；
故f_min（x）=f（a）=-a+log₂$\frac{1-a}{1+a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．