Question

6．某化工廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，據(jù)負責(zé)該產(chǎn)品生產(chǎn)的部門預(yù)算，當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量在50噸至300噸之間時，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的部分對應(yīng)數(shù)據(jù)大致如下表：

生產(chǎn)量x（單位：噸）	50	100	130	180	200	250	300
生產(chǎn)總成本y（單位：萬元）	2750	2000	1750	1800	2050	2750	4050

（1）給出如下四個函數(shù)：
①y=ax²+b，②y=$\frac{1}{10}{x}^{2}+ax+b$，③y=a•b^x，④y=a•log_bx．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從上述四個函數(shù)中選取一個最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述y與x的變化關(guān)系，并通過表中前兩組數(shù)據(jù)，求出y與x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)你求出的函數(shù)解析式，試問當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸的平均成本最低？每噸的最低成本是多少？
（3）若將每噸產(chǎn)品的出廠價定為16萬元，則年產(chǎn)量為多少噸時，方可使得全年的利潤最大？并求出全年的最大利潤．

Answer 1

分析 （1）由所給數(shù)據(jù)，函數(shù)先減后增，對稱軸是x=150，故最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述y與x的變化關(guān)系是②，通過表中前兩組數(shù)據(jù)，求出y與x的函數(shù)解析式；
（2）生產(chǎn)每噸的平均成本$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{10}$+$\frac{4000}{x}$-30，利用基本不等式，即可得出結(jié)論；
（3）L=16x-$\frac{{x}^{2}}{10}$+30x-4000=-$\frac{{x}^{2}}{10}$+46x-4000=-$\frac{1}{10}$（x-230）²+1290，即可求解．

解答 解：（1）由所給數(shù)據(jù)，函數(shù)先減后增，對稱軸是x=150，故最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述y與x的變化關(guān)系是②，其函數(shù)解析式為y=$\frac{{x}^{2}}{10}$-30x+4000（50≤x≤300）；
（2）$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{10}$+$\frac{4000}{x}$-30≥2$\sqrt{\frac{x}{10}•\frac{4000}{x}}$-30=10，當(dāng)且僅當(dāng)x=200噸時，生產(chǎn)每噸的平均成本最低，每噸的最低成本是10萬元/噸；
（3）L=16x-$\frac{{x}^{2}}{10}$+30x-4000=-$\frac{{x}^{2}}{10}$+46x-4000=-$\frac{1}{10}$（x-230）²+1290，
∴x=230時，全年的利潤最大，全年的最大利潤為1290萬元．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，考查配方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．