Question

17．如圖，三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，E為AC中點，EF⊥AP，垂足為F．
（I）求證：AP⊥FB；
（Ⅱ）求多面體PFBCE的體積．

Answer 1

分析 （I）由PC⊥平面ABC得PC⊥BE，由BE⊥AC得BE⊥平面PAC，故BE⊥PA，又PA⊥EF，得出PA⊥平面BEF；
（II）求出四邊形PCEF的面積和BE的長，代入棱錐的體積公式計算．

解答 證明：（I）∵PC⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴PC⊥BE，
∵E為AC中點，△ABC是正三角形，
∴AC⊥BE，又∵AC?平面PAC，PC?平面PAC，AC∩PC=C，
∴BE⊥平面PAC，∵PA?平面PAC，
∴BE⊥PA，又PA⊥EF，BE?平面BEF，EF?平面BEF，BE∩EF=E，
∴PA⊥平面BEF，∵BF?平面BEF，
∴PA⊥BF．
（II）PA=$\sqrt{P{C}^{2}+A{C}^{2}}=2\sqrt{2}$．BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{3}$．
∵△AEF∽△APC，∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△APC}}=（\frac{AE}{PA}）^{2}=\frac{1}{8}$．
∴S_{四邊形PCEF}=$\frac{7}{8}{S}_{△PAC}$=$\frac{7}{4}$．
∴多面體PFBCE的體積V=$\frac{1}{3}•{S}_{四邊形PCEF}•BE$=$\frac{1}{3}×\frac{7}{4}×\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．