Question

11．設數列（a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），則S_2n+3=$\frac{{4}^{n+2}-1}{3•{4}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 通過分組可知S_2n+3表示的是以1為首項、$\frac{1}{4}$為公比的等比數列的前n+2項和，進而計算可得結論．

解答 解：依題意，S_2n+3=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+2+a_2n+3）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n+2}}$
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n+1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n+2}}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{{4}^{n+2}-1}{3•{4}^{n+1}}$，
故答案為：$\frac{{4}^{n+2}-1}{3•{4}^{n+1}}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．