Question

8．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若${a_{k_n}}∈\{{a_1}，{a_2}，…{a_n}，…\}$，且${a_{k_1}}，{a_{k_2}}，…，{a_{k_n}}，…$成等比數(shù)列，當k₁=2，k₂=4時，求數(shù)列{k_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項，可得$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，利用遞推關系與等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）設等比數(shù)列的公比為q，由題意知$q=\frac{{{a_{k_2}}}}{{{a_{k_1}}}}=\frac{a_4}{a_2}=2$，${a_{k_n}}={k_n}$，又${a_{k_n}}={a_{k_1}}•{2^{n-1}}={2^n}$，${k_n}={2^n}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項，∴$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，
又$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}（n≥2）$，
兩式相減并化簡得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，故數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
當n=1時，$2{a_1}=2{S_1}={a_1}^2+{a_1}$，又a₁＞0，∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）設等比數(shù)列的公比為q，由題意知$q=\frac{{{a_{k_2}}}}{{{a_{k_1}}}}=\frac{a_4}{a_2}=2$，
${a_{k_n}}={k_n}$，又${a_{k_n}}={a_{k_1}}•{2^{n-1}}={2^n}$，
${k_n}={2^n}$，
${T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．