Question

20．設(shè)△ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)A（0，a），B（-$\sqrt{3a}$，0），C（$\sqrt{3a}$，0），其中a＞0，圓M為△ABC的外接圓．
（1）求圓M的方程
（2）當(dāng)a變化時，圓M是否過某一定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）確定圓心與半徑，即可求圓M的方程
（2）利用反證法進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形，對稱軸為x=0．外接圓的圓心肯定在x=0上．
作AC的中垂線，垂足為D，交y軸于M，M即為外接圓的圓心．
因?yàn)锳（0，a），C（$\sqrt{3a}$，0），故∠MAC=60°，AD=$\frac{1}{2}$AC=a．
△AMD又是一個∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-a），圓的半徑r=MA=MB=MC=2a．
故圓M的方程為：x²+（y+a）²=4a²（a＞0）．
（2）假設(shè)圓M過某一定點(diǎn)（x，y）．那么當(dāng)a變化時，圓M仍然過點(diǎn)（x，y），此點(diǎn)不會隨著a的變化而變化．那么，現(xiàn)在令a變成了b，即a≠b． 有x²+（y+b）²=4b²，
兩式相減化簡得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．
因?yàn)閍≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=$\frac{3}{2}$（a+b）．
得出，y是一個根據(jù)a和b取值而變化的量．與我們之前假設(shè)的y是一個不隨a變化而變化的定量矛盾，
所以，圓M不過定點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．