Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B均在單位圓上，已知點(diǎn)A在第一象限，橫坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，點(diǎn)B在第二象限．若△AOB為正三角形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$）．

Answer 1

分析 利用任意角的三角函數(shù)的定義，結(jié)合兩角和差的正弦公式和兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡求解即可．

解答 解：設(shè)∠COA=θ
∵點(diǎn)A在第一象限，橫坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△AOB為正三角形，∴B（cos（θ+60°），sin（θ+60°），
∵cos（θ+60°）=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$，
sin（θ+60°）=$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$，
即B（$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$）．
故答案為：

點(diǎn)評(píng) 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，利用兩角和差的正弦公式和兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．