Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點P為橢圓上任意一點，且△PF₁F₂的內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{1}{3}$π．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圓O：x²+y²=3的一條切線，且l與橢圓C交于不同的兩點A，B．若弦AB的長為$\frac{4\sqrt{6}}{7}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓性質(zhì)得△PF₁F₂的面積的最大值為b，由題意內(nèi)切圓的半徑r的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+1）=b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由直線l與圓O相切，利用圓心到直線的距離得b²=3（k²+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，再利用韋達定理、橢圓弦長公式，結(jié)合題設(shè)條件能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
點P為橢圓上任意一點，且△PF₁F₂的內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{1}{3}$π，
∴由橢圓性質(zhì)得△PF₁F₂的面積的最大值為b，
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，
由題意知r的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}r（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|+|{F}_{1}{F}_{2}|）$=r（a+1）≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+1），
綜上可知$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+1）=b，
又∵a²=1+b²，
∴聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}（a+1）=b}\\{{a}^{2}=1+^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）∵直線l與圓O相切，∴圓心到直線的距離d=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴b²=3（k²+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去y，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{7}$，
∴k=1，b=$\sqrt{6}$，
∴直線l的方程為$y=x+\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達定理、橢圓弦長公式的合理運用．