Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x^m+ax的導函數(shù)f′（x）=2x+1，則數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}（n∈N^*）的前n項和是$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，求出m，a，利用裂項法進行求和．

解答 解：函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=mx^m-1+a，
∵f′（x）=2x+1，
∴m=2，a=1，
即f（x）=x²+x，
則$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}（n∈N^*）的前n項和S=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{n+1}$

點評 本題主要考查數(shù)列求和，根據(jù)導數(shù)公式求出函數(shù)f（x）的解析式，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．