Question

【題目】已知函數(shù) ，

（1）求的取值范圍，使在閉區(qū)間上存在反函數(shù)；

（2）當(dāng)時，函數(shù)的最小值是關(guān)于的函數(shù)，求的最大值及其相應(yīng)的值；

（3）對于，研究函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像公共點(diǎn)的個數(shù)，并寫出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)或；（2）當(dāng) 時，最大值；

（3）當(dāng)時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為；

當(dāng)時，公共點(diǎn)有2個，橫坐標(biāo)為；

當(dāng)或或時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為，

當(dāng)或時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)在閉區(qū)間上存在反函數(shù)，則在上單調(diào)，從而得到關(guān)于的不等式，求出的范圍；（2）動軸定區(qū)間，按照，，，分別研究函數(shù)的最小值，然后得到，在分段研究的最大值，得到答案；（3）

（1）函數(shù) 圖像的對稱軸為.

因?yàn)?/span>在閉區(qū)間上是存在反函數(shù)，

所以在閉區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，

所以得到或.

故或.

（2）函數(shù)，，圖像的對稱軸為

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，

所以；

當(dāng)，即 時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，

所以，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，

當(dāng)時，，開口向下，對稱軸為，

所以在時候有最大值為，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，在時，有最大值，，

綜上所述，當(dāng) 時，有最大值，為.

（3）公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足 .

即是方程 的實(shí)數(shù)解.

設(shè)，

則直線 與有公共點(diǎn)時的橫坐標(biāo)與上述問題等價.

①當(dāng) 或時，；

解方程 即，

得， ；

②當(dāng) 時，.

解方程即，

得或；

若，則或，

當(dāng)時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為；

當(dāng)時，公共點(diǎn)有2個，橫坐標(biāo)為.

若，則

若，則

當(dāng)或或時，和不在對應(yīng)的的范圍內(nèi)，

則公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為，

當(dāng)或時，和都在對應(yīng)的的范圍內(nèi)，且不相等，

則公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為

綜上所述，

當(dāng)時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為；

當(dāng)時，公共點(diǎn)有2個，橫坐標(biāo)為；

當(dāng)或或時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為，

當(dāng)或時，公共點(diǎn)有個，橫坐標(biāo)為.