Question

15．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，直線l：y=2x+2交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂直交拋物線C于點Q．
（Ⅰ）若直線l過焦點F，求$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$的值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)p，使$\overrightarrow{AQ}$⊥$\overrightarrow{BQ}$？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拋物線的焦點坐標F（0，2），求出拋物線方程，與直線方程聯(lián)立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理求解$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$的值；
（Ⅱ）通過拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立方程組，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理以及向量的數(shù)量積，化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）直線2x-y+2=0 交拋物線C于A、B兩點，x=0，可得y=2，所以F（0，2），p=4，
拋物線x²=8y與直線y=2x+2聯(lián)立方程組得：x²-16x-16=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=16，x₁x₂=-16，
$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=-|$\overrightarrow{AF}$||$\overrightarrow{BF}$|=-（y₁+2）（y₂+2）=-（2x₁+4）（2x₂+4）=-80；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)p，使$\overrightarrow{AQ}$⊥$\overrightarrow{BQ}$，拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立方程組得：x²-4px-4p=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=16，x₁x₂=-16，
∴P的橫坐標為2p，Q（2p，2p），$\overrightarrow{QA}$=（x₁-2p，y₁-2p），$\overrightarrow{QB}$=（x₂-2p，y₂-2p），
∵$\overrightarrow{AQ}$⊥$\overrightarrow{BQ}$，
∴（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
∴5x₁x₂+（4-6p）（x₁+x₂）+8p²-8p+4=0，
∴4p²+3p-1=0，
∵p＞0，
∴p=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，考查分析問題解決問題的能力．