Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=3S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n=log₄a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n+1=3S_n，利用a_n+1=S_n+1-S_n計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=3S_n，
∴a_n+2-a_n+1=3（S_n+1-S_n）=3a_n+1，
整理得：a_n+2=4a_n+1，
又∵a₁=1，
∴a₂=3S₁=3不滿(mǎn)足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{3×{4}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知b_n=log₄a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{n-2+lo{g}_{4}3，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=$\frac{（n-2）（n-2+1）}{2}$+（n-1）log₄3=$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$+（n-1）log₄3，
又∵T₁=0滿(mǎn)足上式，
∴T_n=$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$+（n-1）log₄3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．