Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n（2+sin$\frac{n}{2}$π）=n（2+cosnπ），S_4n=an²+bn，則a+2b=$\frac{133}{6}$．

Answer 1

分析 a_n（2+sin$\frac{n}{2}$π）=n（2+cosnπ），可得a_n=$\frac{3n}{2}$（n=2k，k∈N^*），a_n=$\frac{n}{2+（-1）^{\frac{n+3}{2}}}$．（n=2k-1，k∈N^*）．可得a₁，a₂，…，a₈=12．可得S₄，S₈．聯(lián)立解出即可．

解答 解：∵a_n（2+sin$\frac{n}{2}$π）=n（2+cosnπ），
∴a_2k=3k，即a_n=$\frac{3n}{2}$（n=2k，k∈N^*）．
a_2k-1=$\frac{n}{2+（-1）^{k+1}}$，a_n=$\frac{n}{2+（-1）^{\frac{n+3}{2}}}$．（n=2k-1，k∈N^*）．
∴a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=3，a₃=3，a₄=6，∴S₄=$\frac{1}{3}+12$=a+b；
a₅=$\frac{5}{3}$，a₆=9，a₇=7，a₈=12．∴S₄=$\frac{5}{3}$+28=4a+2b．
聯(lián)立解得a=$\frac{5}{2}$，b=$\frac{59}{6}$，
∴a+2b=$\frac{133}{6}$．
故答案為：$\frac{133}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)的求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．