Question

6．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，△ABC的面積為S，其外接圓半徑為R，若2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{3}$a-b）sinB，（$\frac{\sqrt{S}}{2R}$）²=sin²A-（sinB-sinC）²，a=4，則c=$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知可得：${a}^{2}+^{2}-{c}^{2}=\sqrt{3}ab$，結(jié)合余弦定理可得C．利用正弦定理及三角形面積公式化簡可得2cosA=2-$\frac{1}{2}sinA$．兩邊平方化簡解得sinA，利用正弦定理即可求值得解．

解答 解：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
又∵2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{3}$a-b）sinB，
∴2R[（$\frac{a}{2R}$）²-（$\frac{c}{2R}$）²]=（$\sqrt{3}$a-b）$\frac{2R}$，整理可得：${a}^{2}+^{2}-{c}^{2}=\sqrt{3}ab$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由C∈（0，π），解得：C=$\frac{π}{6}$．
∵由（$\frac{\sqrt{S}}{2R}$）²=sin²A-（sinB-sinC）²，a=4，
∴可得：S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=$\frac{1}{2}bcsinA$，
∴$^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=（2-\frac{1}{2}sinA）bc$，
可得2cosA=2-$\frac{1}{2}sinA$．兩邊平方化簡解得sinA=$\frac{8}{17}$．
$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
可得c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{4×\frac{1}{2}}{\frac{8}{17}}$=$\frac{17}{4}$．
故答案為：$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．