Question

12．已知c為實數(shù)，對于實數(shù)p，q定義運算“*”，p*q=$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+cq-{c}^{2}（p≥q）}\\{-\frac{1}{2}{p}^{2}+cq+\frac{1}{2}{c}^{2}（p＜q）}\end{array}\right.$且函數(shù)f（x）=（2x-c）*x
（1）若c=$\frac{1}{3}$，且方程f（x）=d恰有三個不相等的實根，求實數(shù)d的取值范圍
（2）若c＞0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上既有最大值又有最小值，試分別求出a，b的取值范圍（用c表示）

Answer 1

分析 （1）由新定義可得f（x）的解析式，畫出圖象，求得x=$\frac{1}{3}$時，y=$\frac{1}{9}$；x=$\frac{1}{4}$時，y=$\frac{1}{8}$．結(jié)合圖象，即可得到所求d的范圍；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=c處取得，最大值在x=$\frac{3}{4}$c處取得，分別求得函數(shù)值為c²時，x=$\frac{1}{2}$c，函數(shù)值為$\frac{9}{8}$c²時，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，即可得到a，b的范圍．

解答 解：由新定義可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-3cx，x≥c}\\{-2{x}^{2}+3cx，x＜c}\end{array}\right.$，
（1）當(dāng)c=$\frac{1}{3}$時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-x，x≥\frac{1}{3}}\\{-2{x}^{2}+x，x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
作出y=f（x）的圖象如右，可得x=$\frac{1}{3}$時，y=$\frac{1}{9}$
x=$\frac{1}{4}$時，y=$\frac{1}{8}$．
由圖象可得$\frac{1}{9}$＜d＜$\frac{1}{8}$時，y=f（x）的圖象和直線y=d有3個交點，
即有方程f（x）=d恰有三個不相等的實根；
（2）當(dāng)c＞0時，函數(shù)的圖象如圖，
要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)既有最大值又有最小值，
則最小值一定在x=c處取得，
最大值在x=$\frac{3}{4}$c處取得，f（c）=c²，
在區(qū)間（-∞，c）內(nèi)，函數(shù)值為c²時，x=$\frac{1}{2}$c，
所以$\frac{1}{2}$c≤a＜$\frac{3}{4}$c；
f（$\frac{3}{4}$c）=$\frac{9}{8}$c²，而在區(qū)間（a，+∞）內(nèi)函數(shù)值為$\frac{9}{8}$c²時，
x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，
所以c＜b≤$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象和最值的求法，注意運用函數(shù)方程的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于難題．