Question

7．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足：$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow c=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow a$
（1）求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角；
（2）求$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）$及$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，運用向量的夾角的余弦公式，計算即可得到所求夾角；
（2）運用向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即為$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{4}{2×4}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，可得向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）$=$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4+3×4=16；
$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{9×4+6×4+16}$=2$\sqrt{19}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的夾角的求法，注意運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．