Question

13．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點，且雙曲線的漸近線與拋物線的準線圍成一個等邊三角形，則雙曲線C₁的離心率是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點坐標和準線方程，可得p=2a，求得雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立準線方程，可得等邊三角形的邊長和高，可得a=$\sqrt{3}$b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可得a=$\frac{p}{2}$，
雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
拋物線的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
代入漸近線方程可得交點為（-a，b），（-a，-b），
由雙曲線的漸近線與拋物線的準線圍成一個等邊三角形，
可得邊長為2b，高為a，
即有a=$\sqrt{3}$b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和拋物線的焦點和準線方程，考查運算能力，屬于中檔題．