Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x≤k}\\{x（x-1）^{2}，k≤x≤a}\end{array}\right.$．若存在k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2]
• B． （1，2]
• C． （$\frac{1}{2}$，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 分別令g（x）=log₂（1-x）+1，h（x）=x（x-1）²，并分析其圖象和性質(zhì)，結(jié)合存在k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，數(shù)形結(jié)合，可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)g（x）=log₂（1-x）+1在[-1，1）上為減函數(shù)，
g（-1）=2，g（$\frac{1}{2}$）=0，
函數(shù)h（x）=x（x-1）²，則h′（x）=3x²-4x+1，
則當(dāng)x＜$\frac{1}{3}$，或x＞1時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜x＜1時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
又由h（0）=h（1）=0，h（2）=2，
故在同一坐標(biāo)系，函數(shù)g（x）和函數(shù)h（x）的圖象如下圖所示：

若存在k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，
則k≥1，且k≤2，
由圖可得：a∈[1，2]，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．