Question

3．如圖，過雙曲線上左支一點A作兩條相互垂直的直線分別過兩焦點，其中一條與雙曲線交于點B，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，可得△ABF₂是等腰三角形，設(shè)AF₂=m，AF₁=x，根據(jù)雙曲線的基本性質(zhì)及△ABF₂是等腰三角形，用m分別表示出x，a，c，進而求得離心率$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0
∴△ABF₂是等腰三角形，
設(shè)AF₂=m，AF₁=x
又AB=AF₂，則BF₁=m-x=2a，BF₂=$\sqrt{2}m$．
BF₂-BF₁=2a，即$\sqrt{2}m$-2a=2a，故a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m，
又m-x=2a，解得x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$m，
在△AF₁F₂中，由勾股定理知，2c=$\sqrt{{m}^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{2}}}{2}$m
所以雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
故選B．

點評 本題考查了雙曲線的基本性質(zhì)及其靈活運用，屬于中檔題型．