Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，b_n=$\frac{1}{S_n}$，且a₃b₃=$\frac{1}{2}$，S₃+S₅=21．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程即可得到首項和公差，進而得到通項；
（2）由b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂項相消求和計算，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃b₃=$\frac{1}{2}$，S₃+S₅=21，
可得（a₁+2d）•$\frac{1}{3{a}_{1}+3d}$=$\frac{1}{2}$，且3a₁+3d+5a₁+10d=21，
解得a₁=d=1，
則有a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n（n+1）}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
則原不等式成立．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．