Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，$\frac{5π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及倍角公式，輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$sinxcosx=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$-x）]+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•cos（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sin2x=sin2（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sin2x=sin（$\frac{π}{2}$-2x）+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到y(tǒng)=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵0≤x≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
則-$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
即-1≤2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，
即-1≤g（x）≤2，即函數(shù)g（x）的值域是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．