Question

16．若平面α的一個(gè)法向量$\overrightarrow n$=（2，1，1），直線l的一個(gè)方向向量為$\overrightarrow a$=（1，2，3），則l與α所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{17}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{6}$
• C． -$\frac{\sqrt{21}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)l與α所成角為θ，設(shè)向量$\overrightarrow n$與$\overrightarrow a$的夾角為β，可得sinθ=|cosβ|，由空間向量的運(yùn)算可得．

解答 解：由題意設(shè)l與α所成角為θ，設(shè)向量$\overrightarrow n$與$\overrightarrow a$的夾角為β，
∵平面α的一個(gè)法向量$\overrightarrow n$=（2，1，1），直線l的一個(gè)方向向量為$\overrightarrow a$=（1，2，3），
∴sinθ=|cosβ|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{a}|}$|=|$\frac{2×1+1×2+1×3}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}•\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{21}}{6}$
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面所成的角和法向量的夾角的關(guān)系，屬中檔題．