Question

10．若圓：（x-1）²+（y-2）²=r²（r＞0）與線段：y=-$\frac{1}{2}$x+1（0≤x≤2）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則r的取值范圍{r|$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{5}$ 或r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$ }．

Answer 1

分析 先求出線段的端點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，圓心C的坐標(biāo)，圓心到線段所在直線x+2y-2=0的距離d，即可得到圓和線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)r的取值范圍．

解答 解：線段：y=-$\frac{1}{2}$x+1（0≤x≤2）的端點(diǎn)分別為A （0，1）、B（2，0），圓的圓心C（1，2），如圖所示：
由于CA=$\sqrt{2}$，CB=$\sqrt{5}$，圓心到線段所在直線x+2y-2=0的距離為d=$\frac{|1+4-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)圓的半徑為r，當(dāng)圓和線段相交且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，半徑r滿(mǎn)足：$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{5}$；
當(dāng)圓和線段相切時(shí)，r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：{r|$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{5}$ 或r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$ }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．