Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（2k+1）{x^2}$+3k（k+2）x+1，其中k為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，6]上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）在（0，6）上有唯一的零點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把k=-1代入可得函數(shù)解析式，求導(dǎo)數(shù)可判單調(diào)性，求端點(diǎn)值和極值比較可得最值；
（2）可得f′（x）=（x-3k）[x-（k+2）]，k=1時(shí)f′（x）≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增，當(dāng)k＞1和k＜1時(shí)，解不等式可得相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由f′（x）=（x-3k）[x-（k+2）]=0得x₁=k+2，x₂=3k，分類討論①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，②當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，③當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，分別可得k的不等式，綜合可得．

解答 解：（1）當(dāng)k=-1時(shí)，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3x+1$，
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²+2x-3=（x-1）（x+3），
令f′（x）=0，∵x∈[0，6]可得得x=1，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，6]上單調(diào)遞增，
∵$f（0）=1，f（1）=-\frac{2}{3}，f（6）=97$，
∴f（x）在[0，6]上的最大值為97，最小值為$-\frac{2}{3}$；
（2）∵f′（x）=x²-2（2k+1）x+3k（k+2）=（x-3k）[x-（k+2）]，
當(dāng)k=1時(shí)，f′（x）=（x-3）²≥0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)k＞1時(shí)，3k＞k+2，由f′（x）＞0解得x＞3k或x＜k+2，由f′（x）＜0得k+2＜x＜3k，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（3k，+∞）和（-∞，k+2），遞減區(qū)間為（k+2，3k）；
當(dāng)k＜1時(shí)，3k＜k+2，由f′（x）＞0解得x＞k+2或x＜3k，由f′（x）＜0得3k＜x＜k+2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（3k，+∞）和（-∞，k+2）；遞減區(qū)間為（3k，k+2）．
（3）由f′（x）=（x-3k）[x-（k+2）]=0得x₁=k+2，x₂=3k，
①當(dāng)x₁=x₂時(shí)，有k+2=3k，解得k=1，此時(shí)x₁=x₂=3∈（0，6），
函數(shù)f′（x）在（0，6）上有唯一的零點(diǎn)，∴k=1為所求；
②當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，有k+2＞3k，解得k＜1，此時(shí)x₂＜x₁＜3，
∵函數(shù)f′（x）在（0，6）上有唯一的零點(diǎn)，
∴x₂≤0＜x₁＜3，即3k≤0＜k+2＜3，解得-2＜k≤0；
③當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，有k+2＜3k，解得k＞1，此時(shí)x₂＞x₁＞3，
∵函數(shù)f′（x）在（0，6）上有唯一的零點(diǎn)，
∴3＜x₁＜6≤x₂，即3＜k+2＜6≤3k，解得2≤k＜4，
綜上得實(shí)數(shù)k的取值范圍為：-2＜k≤0或k=1或2≤k＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想，屬難題．