Question

16．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC．
（1）求四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥BCC₁B₁，說明A₁B₁是四棱錐A₁-BCC₁B₁的高，然后求解四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{BM}$=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一個(gè)法向量．平面A₁B₁C的一個(gè)法向量利用向量的數(shù)量積求解二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

解答 （本題滿分12分）本題共2小題，第（1）小題（4分），第（2）小題（8分）．
解：（1）因?yàn)锳B⊥BC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AB⊥BCC₁B₁，從而A₁B₁是四棱錐A₁-BCC₁B₁的高．…（2分）
四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積為V=$\frac{1}{3}$×2×2×2=$\frac{8}{3}$…（4分）
（2）如圖（圖略），建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
B₁（0，0，2），C₁（0，2，2），…（6分）
設(shè)AC的中點(diǎn)為M，∵BM⊥AC，NM⊥CC₁，
∴BM⊥平面A₁C₁C，
即$\overrightarrow{BM}$=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一個(gè)法向量．
設(shè)平面A₁B₁C的一個(gè)法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-2，0，0）…（8分）
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=-2x=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y-2z=0$，
令z=1，解得x=0，y=1.$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），…（9分）
設(shè)法向量$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{BM}$的夾角為β，二面角B₁-A₁C-C₁的大小為θ，顯然θ為銳角．
∵cosθ=|cosβ|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{BM}\right|}=\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
二面角B₁-A₁C-C₁的大小為$\frac{π}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查二面角的平面角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．