Question

17．已知函數f（x）=x²+kx的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y+b=0，則數列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為（　�。�

• A． $\frac{n}{4n-2}$
• B． $\frac{1}{n+1}$
• C． $\frac{n}{n+1}$
• D． $\frac{2n}{3n+1}$

Answer 1

分析 求出函數的導數，求出切線的斜率，求出k，推出f（n），然后利用裂項消項法求解數列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和

解答 解：函數f（x）=x²+kx，可得f′（x）=2x+k，
∵函數f（x）=x²+kx的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y+b=0，
∴2+k=3，∴k=1，∴f（n）=n²+n，$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
S_n=$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）}+\frac{1}{f（3）}+…+\frac{1}{f（n）}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故選：C．

點評 本題考查函數的導數的應用，切線方程的求法數列求和的方法，裂項消項法的應用，考查計算能力．