Question

10．已知二次函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)-3和1，且有最小值-4．
（Ⅰ） 求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 令g（x）=mf（x）+1（m≠0）．
①若m＜0，證明：g（x）在[-3，+∞）上有唯一零點(diǎn)；
②若m＞0，求y=|g（x）|在$[{-3，\frac{3}{2}}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的對(duì)稱軸x=-1，設(shè)f（x）=a（x+1）²-4，利用x=1，則f（1）=4a-4=0，求出a即可．
（Ⅱ）①化簡g（x）=m（x+1）²-4m+1，m＜0，利用對(duì)稱軸以及g（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，判斷即可．
②利用g（-1）=1-4m，g（-3）=1，$g（{\frac{3}{2}}）=\frac{9}{4}m+1$，通過m＞0，當(dāng)1-4m≥0，當(dāng)1-4m＜0，分別求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得f（-3）=0，f（1）=0，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱
設(shè)f（x）=a（x+1）²-4，令x=1，則f（1）=4a-4=0，a=1，所以f（x）=x²+2x-3．…（2分）
（Ⅱ）①由題意得g（x）=m（x+1）²-4m+1，m＜0
對(duì)稱軸為x=-1＞-3，所以g（x）在[-3，-1]上單調(diào)遞增，[-1，+∞）上單調(diào)遞減．…（3分）
又g（-3）=1＞0，g（-1）=1-4m＞0，
所以函數(shù)g（x）在[-3，-1]沒有零點(diǎn)，在[-1，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，…（6分）
所以f（x）在[-3，+∞）上有唯一零點(diǎn)．…（7分）
②g（-1）=1-4m，g（-3）=1，$g（{\frac{3}{2}}）=\frac{9}{4}m+1$，因?yàn)閙＞0，所以 $g（{\frac{3}{2}}）＞g（{-3}）$，…（8分）
當(dāng)1-4m≥0，即$m≤\frac{1}{4}$時(shí)，${y_{max}}={|{g（x）}|_{max}}=g（{\frac{3}{2}}）=\frac{9}{4}m+1$，…（9分）
當(dāng)1-4m＜0，即$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，
若$4m-1≤\frac{9}{4}m+1$，即$\frac{1}{4}＜m≤\frac{8}{7}$，${y_{max}}={|{g（x）}|_{max}}=|{g（{\frac{3}{2}}）}|=\frac{9}{4}m+1$．…（10分）
若$4m-1＞\frac{9}{4}m+1$，即$m＞\frac{8}{7}$，y_max=|g（x）|_max=|g（-1）|=4m-1，…（11分）
綜上所述，當(dāng)$0＜m≤\frac{8}{7}$時(shí)，${y_{max}}=\frac{9}{4}m+1$；當(dāng)$m＞\frac{8}{7}$時(shí)，y_max=4m-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．