Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（x²-3x+2），其中a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＞0，對(duì)?x＞1，f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 解法一：（1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍從而求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的最大值即可．
解法二：（1）出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍從而求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2ax²-3ax+1，求出g（x）的對(duì)稱軸以及方程g（x）=0的根，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：解法一：
（1）f（x）=lnx+a（x²-3x+2）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分），
$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，
令g（x）=2ax²-3ax+1…（2分）
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；     …（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，△=9a²-8a=a（9a-8）
當(dāng)$0＜a≤\frac{8}{9}$時(shí)，△≤0，g（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；   …（4分）
當(dāng)$a＞\frac{8}{9}$時(shí)，△＞0，g（x）=2ax²-3ax+1=0的兩根
為$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，即0＜x₁＜x₂
所以，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；    …（5分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，△=9a²-8a=a（9a-8）＞0，g（x）=2ax²-3ax+1=0的兩根
為$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜0$，即x₂＜0＜x₁
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；    …（6分）
綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，x₁）單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（x₁，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)$0≤a≤\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a＞\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞減 …（7分）
（2）由（1）知
①當(dāng)$0＜a≤\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（1）=0，所以x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞f（1）=0，符合題意；   …（8分）
②當(dāng)$\frac{8}{9}＜a≤1$時(shí)，$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}≤1$，即0＜x₁＜x₂≤1
所以，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞f（1）=0，符合題意；   …（10分）
③當(dāng)a＞1時(shí)，$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜1$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，即0＜x₁＜1＜x₂
由f（1）=0，函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞減，
所以x∈（1，x₂）時(shí)，f（x）＜f（1）=0不符合題意，…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是（0，1]，所以a的最大值為1．…（12分）
解法二：
（1）f（x）=lnx+a（x²-3x+2）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分），
$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，令g（x）=2ax²-3ax+1…（2分）
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；     …（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=2ax²-3ax+1的對(duì)稱軸為$x=\frac{3}{4}$
若$g（\frac{3}{4}）≥0$時(shí)，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，g（x）≥0，f′（x）≥0所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；      …（4分）
若$g（\frac{3}{4}）＜0$時(shí)，即$a＞\frac{8}{9}$，g（x）=2ax²-3ax+1=0的兩根
為$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，即0＜x₁＜x₂
所以，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；   …（5分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，△=9a²-8a=a（9a-8）＞0，g（x）=2ax²-3ax+1=0的兩根
為$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜0$，即x₂＜0＜x₁
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；   …（6分）
綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，x₁）單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（x₁，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)$0≤a≤\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a＞\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞減 …（7分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，因?yàn)閍＞0
令g（x）=2ax²-3ax+1，g（x）的對(duì)稱軸$x=\frac{3}{4}$，
①當(dāng)$g（\frac{3}{4}）≥0$時(shí)，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，x∈（0，+∞），g（x）≥0，
所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，x＞1，f（x）＞f（1）=0，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，對(duì)?x＞1，f（x）≥0成立；  …（8分）
②當(dāng)$g（\frac{3}{4}）＜0$時(shí)，即$a＞\frac{8}{9}$，g（x）=2ax²-3ax+1=0的兩根為$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，且0＜x₁＜x₂…（9分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}≤1$，即$\frac{8}{9}＜a≤1$時(shí)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞f（1）=0，符合題意；    …（10分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞1$，即a＞1時(shí)，$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜1$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，即0＜x₁＜1＜x₂
由f（1）=0，函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）單調(diào)遞減，
所以x∈（1，x₂）時(shí)，f（x）＜f（1）=0不符合題意，…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是（0，1]，所以a的最大值為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．