Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x²+y²=$\frac{b^2}{4}$截得的線段的長(zhǎng)為c，|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求直線FM的斜率；
（Ⅱ）求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，設(shè)直線FM的方程為y=k（x+c），由此利用已知條件能求出直線FM的斜率．
（Ⅱ）橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，直線FM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），聯(lián)立，消去y，得3x²+2cx-5c²=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能求出橢圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）由離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，又由a²=b²+c²，得a²=3c²，b²=2c²，
設(shè)直線FM的斜率為k（k＞0），則直線FM的方程為y=k（x+c），
由已知有（$\frac{kc}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{c}{2}$）²=（$\frac{2}$）²，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線FM的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，
直線FM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，得3x²+2cx-5c²=0，
解得x=-$\frac{5}{3}c$或x=c，
∵點(diǎn)M在第一象限，∴M（c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}c$），
由|FM|=$\sqrt{（c+c）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}c-0）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得c=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、橢圓性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．