Question

9．已知二次函數(shù)f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)為-1和1，求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）若f（x）滿足f（1）=0，且關(guān)于x的方程f（x）+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列方程組解出；
（2）根據(jù)f（1）=0得出b，c的關(guān)系，令g（x）=f（x）+x+b，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理列方程組解出．

解答 解：（1）∵-1，1是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+1=-2b}\\{-1×1=c}\end{array}\right.$，解得b=0，c=-1．
（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=-1-2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1，
∵關(guān)于x的方程f（x）+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）＞0}\\{g（-2）＜0}\\{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{5-7b＞0}\\{1-5b＜0}\\{-1-b＜0}\\{b+1＞0}\end{array}\right.$．解得$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{5}{7}$，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為（$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)根與系數(shù)得關(guān)系，零點(diǎn)的存在性定理，屬于中檔題．