Question

20．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC與BD的交點為點M．設$\overrightarrow{{C_1}{D_1}}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{C_1}{B_1}}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{C_1}C}=\overrightarrow c$，用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$表示向量$\overrightarrow{M{B_1}}$，則$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 結合圖形，利用空間向量的線性表示與運算，進行運算即可．

解答 解：平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{{C_1}{D_1}}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{C_1}{B_1}}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{C_1}C}=\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{C}_{1}B}_{1}}$-$\overrightarrow{{{C}_{1}D}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），
$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=-$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=-$\overrightarrow{c}$；
∴向量$\overrightarrow{M{B_1}}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）-$\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查了空間向量的線性表示與運算問題，是基礎題目．