Question

己知函數(shù)在處的切線斜率為.

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，對(duì)使得恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：.

 

Answer 1

（1）；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2） （3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）由及處的切線斜率為，可得，即可求得，故，由及即可求得的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，，使得恒成立，只須，由（1）可求得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720375097603157/SYS201411172037589920530576_DA/SYS201411172037589920530576_DA.018.png">，故只須，即可求得.

（3）要證明,

只須證，即證，由（1）易知，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，，即，故當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而再利用裂項(xiàng)放縮，即可證明結(jié)果成立.

試題解析：（1）由已知：，∴由題知，解得；

于是，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1），，即的最大值為，

由題知：對(duì)，，使得恒成立，

只須，

，

∴ 只須，解得．

（3）要證明．

只須證，

只須證．

由（1）當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

，即，∴ 當(dāng)時(shí)，，

，

．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性；不等式恒成立；裂項(xiàng)放縮證明不等式.