Question

13．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（4x），當(dāng)x∈[1，4），f（x）=lnx，若在區(qū)間[1，16）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• B． $（\frac{ln3}{9}，\frac{1}{3e}）$
• C． $（\frac{ln2}{8}，\frac{1}{4e}）$
• D． $（\frac{ln2}{16}，\frac{ln2}{2}）$

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，4）}\\{lnx-ln4，x∈[4，16）}\end{array}\right.$，從而作函數(shù)f（x）與y=ax的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：∵f（x）=f（4x），
∴f（x）=f（$\frac{x}{4}$），
當(dāng)x∈[4，16）時，$\frac{x}{4}$∈[1，4）；
f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=ln$\frac{x}{4}$=lnx-ln4，
故函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，4）}\\{lnx-ln4，x∈[4，16）}\end{array}\right.$，
作函數(shù)f（x）與y=ax的圖象如下，
，
過點（16，ln4）時，a=$\frac{ln4}{16}$=$\frac{ln2}{8}$，
y=lnx-ln4，y′=$\frac{1}{x}$；
故$\frac{lnx-ln4}{x}$=$\frac{1}{x}$，
故x=4e，
故a=$\frac{1}{4e}$，
故實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{ln2}{8}，\frac{1}{4e}）$，
故選：C．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．