Question

8．在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，已知a₂=2，S₅=15．公比為2的等比數(shù)列{b_n}滿足b₂+b₄=60．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)$c{\;}_n=\frac{{2{a_n}}}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（II）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=2，S₅=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵公比為2的等比數(shù)列{b_n}滿足b₂+b₄=60．
∴$_{1}（2+{2}^{3}）$=60，
解得b₁=6，
∴b_n=6×2^n-1=3×2ⁿ．
（Ⅱ）$c{\;}_n=\frac{{2{a_n}}}{b_n}$=$\frac{2n}{3×{2}^{n}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{n}{{2}^{n}}$，
則T_n=$\frac{2}{3}$$（\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}）$．
令R_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$．
則$\frac{1}{2}{R}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
兩式作差得：$\frac{1}{2}{R}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
∴R_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
故T_n=$\frac{2}{3}$$（2-\frac{n+2}{{2}^{n}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．